命题： 设$f(x)$为$[a,b]$上的可积函数，且$m\leq f(x) \leq M$, 设$\phi(x)$为$[m,M]$上的连续下凸函数,则

$$\phi\left(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\right)\leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(f)dx$$

若$\phi$为上凸函数不等号相反.

证明: 取划分

$$\pi: a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b$$

令$\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}$, 由詹森不等式

$$\phi\left(\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}f(x_{i})\right)\leq \frac{1}{n}\phi\left(\sum_{1}^{n}f(x_{i})\right)$$

令$n\to \infty$可得命题成立.

应用: